1. 不等式到底在表達什麼？
不等式描述「大小關係」，重點不是算出唯一答案，而是找出一整段符合條件的數。
符號
四種基本符號
a > b a < b a ≥ b a ≤ b
「>、<」不包含等號；「≥、≤」包含端點。
數線
答案通常是一段區間
例如 x ≥ 2，代表 2 以及所有比 2 大的數。
2
關鍵規則
乘除負數要反向
−2x > 6 ⟹ x < −3
這是高中不等式最常見的失分點之一。
2. 常見不等式類型
點選不同主題，快速比較各類型的解題核心。
一元一次不等式
目標是把 x 單獨留下。加減同一數不改變方向；乘除負數時，符號必須反向。
3x − 5 ≤ 10 ⟹ 3x ≤ 15 ⟹ x ≤ 5
一元二次不等式
先整理成 f(x) > 0 或 f(x) < 0，再找零點，最後用拋物線開口或號誌法判斷區間。
(x−2)(x+1) < 0 ⟹ −1 < x < 2
絕對值不等式
|x−a| 可以理解成「x 與 a 的距離」。因此距離小於 r，代表落在 a 左右 r 的範圍內。
|x−3| < 2 ⟹ 1 < x < 5
基本不等式 AM-GM
對正數 a,b，有算術平均 ≥ 幾何平均；等號成立於 a=b。
(a+b)/2 ≥ √(ab)
3. 例題：解二次不等式
解：x² − x − 6 ≤ 0
因式分解
x² − x − 6 = (x−3)(x+2)
x² − x − 6 = (x−3)(x+2)
找臨界點
x = −2、3，把數線切成三段。
x = −2、3，把數線切成三段。
判斷正負
拋物線開口向上，因此兩根之間函數值 ≤ 0。
拋物線開口向上，因此兩根之間函數值 ≤ 0。
寫答案
−2 ≤ x ≤ 3
−2 ≤ x ≤ 3
技巧：二次不等式不要急著「移項除掉 x」，應先看成一個函數的正負問題。
4. 立即練習
點選答案後會立即顯示回饋。
Q1. 解不等式：−3x > 12
Q2. |x−5| < 3 的解為何？
Q3. (x−1)(x−4) < 0 的解為何？
Q4. 若 a,b > 0，AM-GM 的等號何時成立？
5. 高次不等式：從因式分解到號誌法
核心流程：移到同一邊 → 因式分解 → 找零點 → 依零點切區間 → 判斷各區間正負。
觀念 1
先化成乘積
x³ − 4x > 0
⟹ x(x−2)(x+2) > 0
⟹ x(x−2)(x+2) > 0
零點為 −2、0、2，將數線切成四個區間。
觀念 2
奇數重根會變號
(x−1)³(x+2) < 0
x=1 是三重根，通過此點時符號會改變。
觀念 3
偶數重根不變號
(x−1)²(x+3) ≥ 0
x=1 是二重根，通過此點時乘積正負不會改變。
範例：解 x(x−1)(x+2) ≥ 0
零點
x = −2、0、1。
x = −2、0、1。
切區間
(−∞,−2)、(−2,0)、(0,1)、(1,∞)。
(−∞,−2)、(−2,0)、(0,1)、(1,∞)。
判斷符號
最高次項係數為正，最右側先為正；每通過一個單根就變號。
最高次項係數為正，最右側先為正；每通過一個單根就變號。
答案
[−2,0] ∪ [1,∞)
[−2,0] ∪ [1,∞)
6. 分式不等式：分母不能為 0
分式不等式不能直接「交叉相乘」而忽略分母正負。最安全的方法仍是：移到同一邊 → 因式分解 → 找臨界點 → 號誌法。
第一步
移到同一邊
(x+1)/(x−2) > 0
分子零點 x=−1；分母零點 x=2。
第二步
分母零點永遠排除
x ≠ 2
即使題目是 ≥ 或 ≤，分母為 0 的點也不能包含。
第三步
號誌法判斷區間
(x+1)/(x−2) > 0
⟹ x<−1 或 x>2
⟹ x<−1 或 x>2
常見錯誤：看到 (x+1)/(x−2) > 0 就直接乘以 x−2。因為不知道 x−2 的正負，不能直接決定不等號方向。
7. 高次不等式與分式不等式題庫
共 12 題：高次不等式 6 題＋分式不等式 6 題，包含基礎與進階題型。
高次 1｜x(x−2)(x+1) > 0 的解為何？
高次 2｜(x−1)(x+2)(x−3) ≤ 0 的解為何？
高次 3｜(x−2)²(x+1) < 0 的解為何？
高次 4｜x⁴−5x²+4 ≥ 0 的解為何？
高次 5｜(x+1)³(x−2)² > 0 的解為何？
高次 6｜x³−x²−4x+4 < 0 的解為何？
分式 1｜(x+1)/(x−2) > 0 的解為何？
分式 2｜(x−3)/(x+2) ≤ 0 的解為何？
分式 3｜(x−1)(x+3)/(x−2) > 0 的解為何？
分式 4｜(x+2)/(x−1) ≥ 1 的解為何？
分式 5｜1/(x−2) < 1/(x+1) 的解為何？
分式 6｜(x²−4)/(x−1) ≤ 0 的解為何？